近日，華東師范大學(xué)精密光譜科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室曾和平教授課題組在激光領(lǐng)域取得重要進(jìn)展，該團(tuán)隊(duì)首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形動(dòng)力學(xué)。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月發(fā)表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究員為論文的共同通訊作者，博士生吳修齊和張穎分別為論文的第一、第二作者。合作者包括英國(guó)阿斯頓大學(xué)的S.Boscolo博士和法國(guó)勃艮第大學(xué)的C.Finot教授。

“分形”一詞由數(shù)學(xué)家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此誕生了一門(mén)新的學(xué)科-分形幾何學(xué)。Mandelbrot將分形定義為“分形是局部和整體以某種方式相似的形狀”。分形在自然界中的一個(gè)典型例子是西蘭花，西蘭花每一個(gè)分支和整體的形狀都是相似的。雖然分形最初只是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但已經(jīng)在眾多系統(tǒng)中被觀察到，例如材料學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)學(xué)、電路、網(wǎng)絡(luò)、地理和股票價(jià)格波動(dòng)等。2000年，光學(xué)孤子和分形之間的聯(lián)系在理論上被建立起來(lái)（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子較為穩(wěn)定，將其“分形”為多個(gè)分支需要對(duì)傳輸介質(zhì)（例如光纖）的物理性質(zhì)進(jìn)行多次改變，且需要在多個(gè)位置對(duì)光孤子進(jìn)行探測(cè)。這些條件在實(shí)驗(yàn)上很難實(shí)現(xiàn)，相關(guān)實(shí)驗(yàn)幾乎無(wú)法開(kāi)展。

曾和平教授團(tuán)隊(duì)另辟蹊徑，提出并證明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可構(gòu)成分形。呼吸子是參數(shù)周期性變化的局域化波包。由于呼吸子與湍流、混沌、極端事件、調(diào)制不穩(wěn)定性等非線性現(xiàn)象密切相關(guān)，獲得了學(xué)界的廣泛關(guān)注。該工作首次將呼吸子和分形聯(lián)系起來(lái)。研究發(fā)現(xiàn)呼吸頻率(呼吸子演化周期的倒數(shù))與激光器重復(fù)頻率(由激光器長(zhǎng)度決定)的比值隨著光強(qiáng)的變化會(huì)出現(xiàn)一系列平臺(tái)（階梯）。平臺(tái)的出現(xiàn)表明此時(shí)該比值是個(gè)常數(shù)。這些平臺(tái)對(duì)應(yīng)的數(shù)值展現(xiàn)出經(jīng)典的分形結(jié)構(gòu)-法里樹(shù)。該分形結(jié)構(gòu)被稱為魔鬼階梯是因?yàn)槠浞中尉S度的大小和魔鬼階梯一致，均為0.87。平臺(tái)上對(duì)應(yīng)的呼吸子被稱為頻率鎖定呼吸子，因?yàn)槠浜粑�頻率自發(fā)地鎖在激光器重復(fù)頻率上，在外界擾動(dòng)下保持不變。其頻率穩(wěn)定性比沒(méi)有鎖定的呼吸子高3000倍左右！

分形呼吸子的另一個(gè)特點(diǎn)是可以產(chǎn)生不受激光器腔長(zhǎng)限制的密集頻率梳。例如，該工作展示了該激光器出射的激光的梳齒密度比相同腔長(zhǎng)的激光器大幅增加了41倍，從而實(shí)現(xiàn)了亞兆赫茲間距的頻率梳。普通激光器要實(shí)現(xiàn)亞兆赫茲的梳齒間距，需要百米量級(jí)的腔長(zhǎng)，因此很不穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，基于分形的呼吸子激光器作為替代方案有很強(qiáng)的吸引力。

該圖形象地說(shuō)明了飛秒光纖激光器中產(chǎn)生的呼吸子實(shí)際上是一種分形結(jié)構(gòu)-法里樹(shù)。進(jìn)一步研究表明該法里樹(shù)的維度和魔鬼階梯一致。

該工作表明呼吸子激光器可作為一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性系統(tǒng)來(lái)研究分形動(dòng)力學(xué)。由于呼吸子的普遍性(微腔、BEC、流體力學(xué)等)，該工作有望激發(fā)分形在相關(guān)物理系統(tǒng)中的研究，分形為理解這些系統(tǒng)中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)全新的視角。更廣泛地來(lái)看，描述飛秒激光器的物理模型是非線性薛定諤方程，該方程具有很強(qiáng)的普適性。這項(xiàng)工作通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論發(fā)現(xiàn)的非線性薛定諤方程的分形解，也將在相關(guān)的物理系統(tǒng)中獲得關(guān)注。

近年來(lái)，曾和平教授團(tuán)隊(duì)在呼吸子超快激光領(lǐng)域做了系統(tǒng)性工作。提出并證實(shí)了呼吸子超快激光,包括連續(xù)呼吸子（Sci.Adv.5 eaax1110 2019）和分立呼吸子（Phys.Rev.Appl.11 044068 2019）;利用AI技術(shù)實(shí)現(xiàn)了其智能調(diào)控（Laser & Photon.Rev.2100191 2021）；揭示了呼吸子爆炸動(dòng)力學(xué)（Phys.Rev.Appl.12 034052 2019）及呼吸子多體相互作用（Laser & Photon.Rev.2000132 2021）。這項(xiàng)工作得到了科技部、國(guó)家自然科學(xué)基金委、上海市科委和重慶市科委的資助。

相關(guān)鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-022-33525-0